Умножение чисел

— Прекрасно, — воскликнул, Винни-Пух, — теперь я смогу посчитать, сколько мёда будет давать моя пасека, которую я планирую завести летом.

— У меня будет стоять 10 ульев, в каждом улье будет по 20 сот, и с каждой соты я планирую брать по 2 кг мёда.

— Сначала надо узнать, сколько будет давать мёда один улей, для этого надо двадцать раз сложить по 2: 2 2 .. 2 (всего 20 раз) = 40 кг.

Если один улей будет давать 40 кг мёда, то для того, чтобы узнать, сколько будет давать вся пасека из 10 ульев, надо 40 сложить 10 раз: 40 40 .. 40 (всего 10 раз) = 400 кг.

— Прекрасно, — подвёл итог своим вычислениям медведь, — 400 кг мёда мне должно хватить на всю зиму и при этом делиться ни с кем не надо. Только вот считать долго получается.

— Чтобы сократить процесс сложения одинаковых чисел, было придумано умножение, — обрадовала Винни-Пуха Сова.

— Умножение? А это очень сложно?, — забеспокоился Пух. – Смогут ли мои опилки спрессоваться в еще одну извилину, чтобы осилить науку умножения?

— В этом нет ничего сложного, — поспешила успокоить косолапого Сова. – Даже Пятачку под силу понять и выучить умножение.

Здесь всё просто, если понятно сложение, ведь у умножения и сложения один и тот же принцип, — начала своё очередное повествование умная Сова.

Для того, чтобы узнать сколько килограмм мёда даст один твой улей, Пух, ты складывал двадцать раз по 2 кг (ведь в улье 20 сот, каждая из которых даёт 2 кг).

Если пользоваться сложением, это выглядит так:

2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2=40

Если этот процесс перевести на язык умножения, то это будет выглядеть так:

2·20=40

Если математическая операция сложения обозначается значком «плюс»( ), то умножение обозначается точкой (·) .

В записи 2·20=40 число 2 называется первым множителем, число 20 – вторым множителем, а результат умножения, число 40 – произведением.

Если перевести на «простой» язык запись 2·20, то, можно сказать, что число 2 складывается 20 раз.

Из этого примера понятно, что на «язык» умножения можно переложить не всякое сложение, а лишь только то, где складываются несколько раз одинаковые числа.

Например, 2 3 7, на «язык» умножения не переложить, поскольку складываются разные числа.

Вот еще несколько примеров перевода сложения в умножение:

3+3+3+3 = 3·4

10+10+10 = 10·3

15+15 = 15·2

Если трудно понять смысл умножения, можно прибегнуть к графической интерпретации. Для этого нужно сделать «числовую ленту» — нарисовать пустые квадратики, которые затем заполнить числами, начиная с 1, идущими подряд:

Теперь, если надо, например, умножить 5 на 3, проделываем следующее:

• отрезаем три полоски по 5 квадратиков каждая;
• располагаем эти полоски друг над другом – число в последнем квадратике последней полоски и будет результатом умножения 5 на 3 – это будет число 15.

Следует обратить внимание на один очень важный момент.

Если к какому-нибудь числу прибавить 0, то ничего не изменится – ведь, если к чему-нибудь добавить «пустое место», то это что-нибудь никак не изменится:

5+0 = 5; 7+0 = 7; 243+0 = 243.

Точно так же, если в «пустое место» добавить что-то, то мы и получим это самое что-то:

0+5 = 5; 0+7 = 7; 0+243 = 243.

В этом месте обратим внимание на такой факт:

2+5 = 5+2 = 7

Если при сложении складываемые числа поменять местами, то сумма не изменится. Это правило называют переместительным законом сложения, который звучит так:

От перестановки слагаемых сумма не изменяется.

Действительно, нет никакой разницы, что добавить в корзину с пятью орехами еще два, или же в корзину с двумя орехами – пять орехов – и в том, и в другом случае, в корзине окажется 7 орехов.

Точно так же и в умножении – нет никакой разницы складывать двойку пять раз или пятёрку два раза:

2·5 = 5·2 = 10

Переместительный закон умножения звучит так:

От перестановки множителей произведение не изменяется.

Теперь разберемся с нулем при умножении. Если «пустое место» положить несколько раз в пустую корзину, то от этого ничего не изменится – корзина будет продолжать оставаться пустой:

0·5 = 0+0+0+0+0 = 0

Из переместительного закона умножения, следует, что:

0·5 = 5·0 = 0

Произведением любого числа на нуль будет нуль.

Еще одно важное отличие операции сложения от операции умножения.

Если при сложении какого-то числа с 1 будет число, идущее следом за этим числом, то при умножении какого-то числа (кроме нуля) на 1 результатом будет то же самое число:

2+1 = 3; 4+1 = 5; 10+1 = 11

2·1 = 2; 4·1 = 4; 10·1 = 10.

Главные сходства и отличия сложения и умножения

• Суммой любого числа с нулем будет это же самое число:

А+0 = 0+А = А

• Произведение  любого числа на нуль будет нуль:

А·0 = 0·А = 0

• Суммой любого числа с 1 будет число, стоящее в числовом ряду следующим:

0+ 1 = 1; 1+1 = 2; 2+1 = 3 и т. д.

• Произведение  любого числа на 1 будет равно самому этому числу:

А·1 = 1·А = А

• От перестановки слагаемых сумма не изменяется (переместительный закон сложения):

А+В = В+А

• От перестановки множителей произведение не изменяется (переместительный закон умножения):

А·В = В·А

• Не имеет значения, в каком порядке производить операции сложения:

А+В+С = (А+В)+С = А+(В+С) = В+(А+С)

• Не имеет значения, в каком порядке производить операции умножения:

А·В·С = (А·В)·С = А·(В·С) = В·(А·С)

Это сочетательные законы сложения и произведения.

— Всё это очень хорошо, Сова, — подвёл итог занятию Винни-Пух, — но, как мне кажется, умножение очень громоздкое и неудобное, ведь приходится по многу раз считать одно и то же – это очень долго и неудобно.

— Полностью согласна с тобой, Пух, — ответила Сова. – Видно, что наши занятия для тебя не проходят даром, опилки в твоей голове становятся всё плотнее и плотнее, образуя извилины одну за другой.

— Умножение имеет преимущество перед сложением лишь только в том случае, если ты знаешь наизусть таблицу умножения.

— А что это такое «таблица умножения»? – Вставил свои «пять копеек» Пятачок, который не хотел выглядеть глупее медведя.

— Таблица умножения это такая же таблица, как и таблица сложения, в которой надо запомнить и выучить все варианты результатов умножения двух чисел, начиная от 1 и заканчивая 9, т. е., от 1·1 до 9·9.

Учить её можно точно так же, как вы учили таблицы сложения и вычитания, при помощи карточек.

Таблица умножения