Рішення задач на відсотки

У звичайному житті нам часто необхідні знання, які ми отримали в школі. Але погодьтеся, що часом виявляється, що ми не детально розібралися в тому чи іншому питанні шкільної програми. Найбільш хитромудрим і складним моментом багато школярів вважають відсотки. Складним для більшості стає не тільки рішення, але і тлумачення умови. Не варто засмучуватися в даному випадку. Навіть не підозрюючи, ми стикаємося в звичайному житті із завданнями на відсотки і вдало з ними справляємося. У цьому випадку з ними простіше впоратися, так як вони безпосередньо пов’язані з нашим реальним життям.

Складнощі у багатьох при вивченні цього розділу будуть виникати до тих пір, поки в підручниках не з’являться приклади з реального життя. Нижче будуть наведені приклади, які допоможуть вам розібратися в цьому аспекті раз і назавжди. В якості ситуацій будуть наведені варіанти зі звичайних життєвих ситуацій, які зустрічаються щодня. Просте і зрозуміле пояснення вирішення завдань на відсотки розставить все на свої місця, і більше не буде викликати питань чи труднощів.

Відсотки та їх використання в повсякденному житті

Якщо уважно придивитися до упаковок продуктів, які ми купуємо, то там вказуються відсотки. Ще частіше знак ” % ” можна побачити на рекламних плакатах, що позначає в них знижку. Саме це значення стає вирішальним для шопоголіків. Неприємні емоції у кожної людини викликає цей символ при перегляді новин про кількість смертей, підняття вартості комунальних послуг або інших платежів. Для того, щоб розуміти, що має на увазі під собою це значення, необхідно знати, як їм оперувати.

Для того, щоб не стати жертвою рекламних акцій, особливо в періоди «величезних» знижок, необхідно знати, як вирахувати суму знижки і чи буде кінцева ціна зі знижкою нижче вартості без знижки. Знання правил вирішення завдань з відсотками допоможе розібратися з банківськими послугами. Особливо якщо мова йде про кредити або іпотеку. Найчастіше інформацію про відсотки вказують дрібним шрифтом. Вирішивши завдання з відсотком, можна чітко зрозуміти, скільки вам доведеться повернути додатково власних грошей за те, що ви скористалися послугами банку.

У сезонний період підвищення захворювань ми можемо побачити статистику кількості людей, які стали жертвами вірусу. Саме в таких даних можна зустріти спеціальний знак. Це значення дає змогу дізнатися чи перевищено епідеміологічний поріг. Прекрасним варіантом використання відсотків можуть стати відомості про подачу документів від абітурієнтів на ту чи іншу спеціальність університету. Відсоток заяв визначає конкурс, а щодо цього і шанси кожного вступника. А також, не слід забувати, що завдання на відсотки є в основній програмі щорічного іспиту для випускників шкіл з математики – ЗНО.

Суть поняття – відсоток

Найчастіше цей термін представлений десятковим дробом. Найчастіше для порівняння в звичному житті ми порівнюємо ціле число з частинами. Найбільш поширеними значеннями виступають:

• чверть;
• третина;
• половина.

У навчальному році присутнє таке поняття як “чверть”. Воно звичне для кожного. Але багато хто забуває про те, що воно має на увазі четверту частину навчального процесу. Більшість людей зазначає, що обчислення найзручніше вести в порівнянні сотих часток. Саме так і прийшов термін “відсоток”.

Для позначення на листі значення відсотка, можна використовувати спеціальний символ “%”. Крім цього, доступно застосовувати десяткові дроби або натуральне число. Отримують його при розділі на 100: 0,1 або навпаки в процесі множення на 100%.

Основні варіанти завдань на відсотки

Давайте визначимося, що вправи з % –  це знаходження дробу. Саме таким значення ми і будемо далі користуватися.

Варіант 1: визначення відсотка (дробу) від загального числа.

Завдання. У магазин завезли 200 кг огірків. 10% із загальної кількості мали ознаки зіпсованості і не підійшли для реалізації. Скільки кілограм огірків були непридатні для продажу?

Рішення. Вам потрібно знайти 10% від усього обсягу привезених огірків (200). 10% = 0,1. 200*0,1= 20. 20 кг з усієї кількості огірків не можуть бути продані через низьку якість.

Варіант 2: обчислення числа по його відсотку (дробу).

Завдання. Учневі на літній період дали прочитати певну кількість художніх книг. Він прочитав 42 книги. Це становить 25% від загальної кількості заданого матеріалу. Скільки всього необхідно прочитати книг за літні канікули?

Рішення. Для нас невідомо число книг, які були задані учневі. Зате в умові нам дано, що 42 книги становлять 25% від загальної кількості. Значить, нам варто перевести 25% в дріб і це буде 0,25. Після цього відому нам величину ділимо на даний Покажчик. 42/0,25 =42*100/25=168. 168 книг потрібно прочитати учневі на літніх канікулах.

Варіант 3: шукаємо співвідношення двох чисел у відсотках (частина від загальної кількості).

Завдання. У групі дитячого садка 28 дітей. 14 хлопчиків. Скільки відсотків хлопчиків у групі?

Рішення. Щоб зрозуміти процентне співвідношення чисел між собою, вам необхідно значення, яке ви шукайте, розділити на загальний обсяг і після перемножити на 100%. Приклад: 14/28*100% =1/2*100% = 1*100%/2 = 50%. У групі 50% хлопчиків.

Варіант 4: збільшення числа на відсоток.

Завдання. Вартість піджака зросла на 20%. Яка ціна його тепер, якщо перед підвищенням ціни вона становила 2400 рублів?

Рішення. Шукаємо 20% від 2400. Для пошуку 20% від 2400, вам буде потрібно перемножити 2400 на 0,2: 2400*0,2 = 480. Піджак коштував 2400 р, зростання цінника склало 480 р, сьогодні цінник становить 2400+ 480 = 2880р.

Варіант 5: зменшення числа на відсоток.

Завдання. За ніч до кімнати залетіло 30 комарів. До ранку їх стало менше на 40%. Скільки комах в приміщенні залишилося на ранок?

Рішення. Для отримання правильної відповіді нам необхідно зменшити значення на 40%, тобто помножити 30 на (1-40/100)=1-0,4=0,6(1-40/100)=1-0,4=0,6.

30*0,6 = 18. У кімнаті на ранок було 18 комарів.

Варіант 6: використання простих відсотків у вправах.

Завдання. Зробіть дисконтування 800 доларів за 8 місяців за простою ставкою 12% за рік.

Рішення. Оскільки обчислення відсотків йде за рік, то насамперед вам її потрібно визначити в місяць. У році 12 місяців і 12 відсотків, а значить 1% в місяць. Щоб отримати результат, скористайтеся формулою з включенням наданих даних: P=800, I=0,01, T=8 місяців. Вона буде виглядати так: А=800*(1+0,01*8)=864 доларів. Через 8 місяців розмір дисконту дорівнює 864 долара.

Варіант 7: вправи зі складними відсотками.

Завдання. Клієнт взяв у банку позику на 9000 євро на 3.5 роки під 20% на рік з умовою зарахування відсотків кожні 6 місяців. Обчисліть розмір суми при складні відсотках.

Рішення. Формула з використанням складних відсотків:

S=P (1+j/m)mn

J = 20% = 0.2-ставка відсотків

n = 3.5 року-тривалість терміну видачі позики

P – 9000 Євро-Початковий розмір вкладу

m = 2-рази, коли будуть нараховані відсотки за період використання

S = 9000 * (1+0.2/2)2*3.5 = 17538.5 Євро.

Відповідь: сума за ставкою зі складними відсотками дорівнює 17538,5 Євро.

Для більш зручного вирішення простих завдань на відсотки, можна використовувати пропорцію. Даний метод дуже доступний. Ви можете вибирати той варіант, який вам подобається більше. Отже, вирішимо завдання, склавши пропорцію.

Завдання. На клумбі росте 45 троянд. Червоних-18. Яке процентне співвідношення червоних троянд до всіх інших?

Рішення. Щоб було зручніше, давайте шукане число позначимо х. Загальна кількість квітів в такому випадку становить 100%. Пропорція складається хрест навхрест. Вона буде виглядати наступним чином:

45 – 100%

18-х

Щоб вирішити рівняння варто помножити ліву і праву частини навхрест. В результаті ми отримуємо: 45*х=18 * 100. Звідси буде слідувати, що х=18*100/45=40% відповідь: процентне співвідношення червоних троянд до решти становить 40%.

Способи вирішення завдань на відсотки

Для отримання правильного результату, варто повністю розібратися в способу вирішення умов з відсотками. Ретельна робота над ними дасть впевненість у власних силах. Чим більше практики буде, тим краще буде засвоєний матеріал. При необхідності Ви автоматично складете пропорція в розумі.

Завдання 1.

Вартість куртки становить 16000 р.вперше вона збільшилася на 20%, потім на наступний день – знизилася на 20%. Вона як і раніше коштує 16000 р., чи не так?

Рішення. Ні. Якщо коротко, то: 16000*1,2*0,8 = 15360р-тепер річ коштує цю суму.

Розгорнуте рішення. Спершу цінник збільшився на 20%, тобто на 16000*0,2 = 3200р. Нова вартість 16000+ 3200 = 19200 (р). Через день відбулося зниження на 20%. Тут варто розуміти, що ця сума віднімається не від 16000, а від 19200: 0,2*19200 = 3840 р. 19200 – 3840 = 15360 (р). Саме тому кінцевий результат склав 15360 р.

Завдання 2.

Обидві сукні були по 14000 Р.ціна одного з них зросла на 10%, а потім – ще на 10%. Ціна другого відразу піднялася на 20%. Яке плаття тепер більш дороге?

Рішення. Щоб зрозуміти, потрібно спершу розібратися в проблемі. Перша річ дорожчала двічі по 10%, а відповідно сума збільшилася в 1,1 рази: 14000*1,1*1,1 = 16940 (р). Друга річ спочатку підвищилася в ціні на 20%, а точніше в 1,2 рази. Зробимо розрахунки: 14000 * 1,2 = 16800. Якщо порівняти обидві ціни, то перше плаття стало набагато дорожче.

А чому не можна відразу приплюсувати відсотки? і після здійснювати розрахунки. Все полягає в тому, що 10% спершу відраховується від 14000 р, а далі – обчислення проводитися вже від підвищеної вартості. За розрахунками це виглядає так: 14000 + 1400 = 15400 (р). Далі Переписування цінника буде таким: 15400 * 0,1 = 1540 (р). Складаємо 1540 і 15400 – отримуємо остаточну ціну куртки – 16940р.

Завдання 3.

Ціна на квартиру в новобудові в січні становила 12000000р. через місяць вона зросла на 5%, в ще через місяць – впала на 3%. Квітень показав зростання на 7%, а в травні – зниження на 10%. Визначте вартість зараз?

Рішення. На основі вищенаведених завдань, вже точно можна сказати, що не можна плюсувати всі процентні значення в єдине ціле. Варіант: 5% – 3% + 7% – 10% = -1%. Буде неправильним. Всі обчислення потрібно проводити щодо нової суми після чергової дії.

Тлумачення докладного рішення:

Перше збільшення ціни-це 5% від 12 000 000 = 600 000 (р).

12 000 000 + 600 000 = 12 600 000 (р).

Далі – це 3% від 12 600 000 = 378 000 (р).

12 600 000 – 378 000 = 12 222 000 (р).

Потім зростання-це 7% від 12 222 000 = 855 540 (р).

12 222 000 + 855 540 = 13 077 540 (р).

Остаточний спад на 10% – це 10% від 1 307 7540 = 1 307 754 (р).

13 077 540 – 1 307 754 = 11 769 786.

Щоб спростити завдання і не писати багато зайвого, розпишіть дані в рядок:

12 000 000*1,05*0,97*1,07*0,9 = 11 769 786 (р).

Найчастіше використовується саме перший варіант. Хоча варто поступово переходити до більш простому варіанту, відмовляючись від тривалого міркування.

Завдання 4.

Є 5% розчин кислоти. Його маса 3,8 кг.туди додали 1,2 кг дистильованої води. Якою стала концентрація розчину (у відсотках)?

Рішення. Щоб визначити кінцевий результат, дізнайтеся, скільки кислоти перебувати в розчині. З 3,8 кг 5% – це кислотна складова, а значить в розчині 0,05∙3,8=0,19 кг0, 05∙3,8=0,19 кг кислоти

Після прорахуйте вагу нового розчину: 3,8 кг + 1,2 кг = 5 кг.Так як у воді немає кислоти, то значення залишилося незмінним. А це означає, що концентрація кислоти стала дорівнює 0,19/5=0,038 для перекладу в відсотки виконайте наступні дії – 0,038 * 100%=3,8%

Завдання 5.

Мокра губка містила 80 % води, а після вичавлювання тільки 20%. Чому дорівнювала маса мокрої губки, якщо маса губки після вичавлювання стала 100 грам? Відповідь дайте в грамах.

Рішення. Перший спосіб: у вичавленій губці 100% -20%=80% сухої речовини, тоді після вичавлювання маса сухої речовини губки стала складати 0,8*100=80 грам. Але і до вичавлювання вона була такою ж, при цьому до вичавлювання вона становила тільки 100-80=20% маси мокрої губки, значить маса мокрої губки була 80:0,2=400 грам. Другий спосіб: нехай x кг-маса мокрої губки, тоді г x / 100 * 20 г – Маса сухої речовини. Після вичавлювання маса сухої речовини стала складати 100-20=80% від маси вичавленої губки (тобто 80 грам), тоді x/100*20=80, звідки x=400 грам. Відповідь: 400 г.

Висновки

З усього вище перерахованого можна сказати, що вирішувати завдання на відсотки не так вже й складно. Розбір і запам’ятовування основних правил дозволить вам вирішувати їх максимально просто і швидко.

Для закріплення пройденого матеріалу, було б краще самостійно скласти завдання і вирішити її. Можете перевірити ваші здібності на друзях або близьких. Повірте, вирішувати завдання на відсотки вам доведеться неодноразово не тільки в школі, але і в повсякденному житті. Саме тому важливо ретельно і детально вивчити цю тему.