Решение задач на проценты

В обычной жизни нам часто необходимы знания, которые мы получили в школе. Но согласитесь, что порой мы не детально разобрались в том или ином вопросе школьной программы. Наиболее замысловатым многие школьники считают проценты. Сложным для большинства становится не только решение, но и толкование условия. Не стоит расстраиваться в данном случае. Даже не подозревая, мы сталкиваемся в обычной жизни с задачами на проценты и удачно с ними справляемся. В этом случае с ними проще справиться, так как они напрямую связаны с нашей реальной жизнью.

Сложности у многих при изучении этого раздела будут возникать до тех пор, пока в учебниках не появятся примеры из реальной жизни. Ниже будут приведены примеры, которые помогут вам разобраться в этом аспекте раз и навсегда. В качестве ситуаций будут приведены варианты из обычных жизненных ситуаций, которые встречаются ежедневно. Простое и понятное объяснение решения задач на проценты расставит все на свои места, и больше не будет вызывать вопросов.

Проценты и их использование в повседневной жизни

Если внимательно присмотреться к упаковкам продуктов, которые мы покупаем, то там указываются проценты. Еще чаще знак «%» можно увидеть на рекламных плакатах, обозначающий в них скидку. Именно это значение становится решающим для шопоголиков. Неприятные эмоции у каждого человека вызывает этот символ при просмотре новостей о количестве смертей, поднятии стоимости коммунальных услуг или прочих платежей. Для того, чтобы понимать, что подразумевает под собой это значение, необходимо знать, как им оперировать.

Для того, чтобы не стать жертвой рекламных акций, особенно в периоды «огромных» скидок, необходимо знать, как высчитать сумму скидки и будет ли конечная цена со скидкой ниже стоимости без скидки. Знание правил исчисления задач с процентами поможет разобраться с банковскими услугами. Особенно если речь идет о кредитах или ипотеке. Чаще всего данные о процентах указывают мелким шрифтом. Решив задачу с процентом, можно четко понять, сколько вам придется вернуть дополнительно собственных денег за то, что вы воспользовались услугами банка.

В сезонный период повышения заболеваний мы можем увидеть статистику количества людей, которые стали жертвами вируса. Именно в данных можно встретить специальный знак. Это значение определяет превышен ли эпидемиологический порог. Прекрасным вариантом включения процентов для показания информации может стать сведения о подаче документов от абитуриентов на ту или иную специальность университета. Процент заявлений определяет конкурс, а относительно этого и шансы каждого поступающего.

Суть понятия — процент

Чаще всего этот термин представлен десятичной дробью. Чаще всего для сравнения в привычной жизни мы сравниваем целое с частями. Наиболее распространенными значениями выступают:

• четверть;
• треть;
• половина.

В учебном году присутствует такое понятие как «четверть». Оно привычно для каждого. Но многие забывают о том, что оно подразумевает четвертую часть учебного процесса. Большинство людей отмечает, что исчисление удобнее всего вести в сравнении сотых долей. Именно так и пришло значение «процент».

Для обозначения на письме значения процента, можно использовать специальный символ «%». Кроме этого, доступно применять десятичные дроби или натуральное число. Получают его при разделе на 100: 0,1 или наоборот в процессе умножения на 100%.

Основные варианты задач на проценты

Давайте определимся, что упражнения с %– это нахождение дроби. Именно таким положением мы и будем дальше пользоваться.

Вариант 1: Определение процента (дроби) от общего числа.

• Задача. В магазин завезли 200 кг огурцов. 10% из общего количества имели признаки испорченности и не годились для реализации. Сколько килограмм огурцов были непригодны для продажи?
• Решение. Вам требуется найти 10% от всего объема привезенных огурцов (200). 10% = 0,1. 200*0,1= 20. 20 кг из всего количества огурцов не могут быть проданы из-за низкого качества.

Вариант 2: Вычисление числа по его проценту (дроби).

• Задача. Ученику на летний период дали прочитать определенное количество художественных книг. Он прочел 42 книги. Это составляет 25% от общего количества заданного материала. Сколько  всего необходимо прочитать книг за летние каникулы?
• Решение. Для нас неизвестно число книг, которые были заданы ученику. Зато в условии нам дано, что 42 книги составляют 25% от общего количества. Значит, нам стоит перевести 25% в дробь и это будет 0,25. После этого известную нам величину делим на данный указатель. 42/0,25 =42*100/25=168. 168 книг нужно прочесть ученику на летних каникулах.

Вариант 3: Ищем соотношение двух чисел в процентах (часть от общего количества).

• Задача. В группе детского сада 28 детей. 14 мальчиков. Сколько процентов мальчиков в группе?
• Решение. Чтобы понять процентное соотношения чисел между собой, вам необходимо значение, которое вы ищите, разделить на общий объем и после перемножить на 100%. Пример: 14/28*100% =1/2*100% = 1*100%/2 = 50%. В группе 50% мальчиков.

Вариант 4: Увеличение числа на процент.

• Задача. Стоимость пиджака выросла на 20%. Какая цена его теперь, если перед повышением цены она составляла 2400 рублей?
• Решение. Ищем 20% от 2400. Для поиска 20% от 2400, вам потребуется перемножить 2400 на 0,2: 2400*0,2 = 480. Пиджак стоил 2400 р, возрастание ценника составило 480 р, сегодня ценник составляет 2400+ 480 = 2880р.

Вариант 5: Уменьшение числа на процент.

• Задача. За ночь в комнату залетело 30 комаров. До утра их стало меньше на 40%. Сколько насекомых в помещении осталось на утро?
• Решение. Для получения правильного ответа нам необходимо уменьшить значение на 40%, т. е. умножить 30 на (1−40/100)=1−0,4=0,6(1−40/100)=1−0,4=0,6.  30*0,6 = 18. В комнате на утро было 18 комаров.

Вариант 6: Использование простых процентов в упражнениях.

• Задача. Произведите дисконтирование 800 долларов за 8 месяцев по простой ставке 12% за год.
• Решение. Т.к. исчисление процентов идет за год, то первым делом вам ее нужно определить в месяц. В году 12 месяцев и 12 процентов, а значит 1% в месяц. Чтобы получить результат, воспользуйтесь формулой с включением предоставленных данных: P=800, I=0,01, T=8 месяцев. Она будет выглядеть так: А=800*(1+0,01*8)=864 долларов. Спустя 8 месяцев размер дисконта равен 864 доллара.

Вариант 7: Упражнения со сложными процентами.

• Задача.    Клиент взял в банке ссуду на 9000 евро на 3.5 года под 20% в год с условием зачисления процентов каждые 6 месяцев. Вычислите размер суммы при сложны процентах.
• Решение. Формула с использованием сложных процентов:

S=P (1+j/m)mn

J = 20% = 0.2  — ставка процентов

n = 3.5 года — продолжительность срока выдачи ссуды

P – 9000 евро — изначальный размер вклада

m = 2 – разы, когда будут начислены проценты за период использования

S = 9000 * (1+0.2/2)2*3.5 = 17538.5 евро.

Ответ: сумма по ставке со сложными процентами равна 17538,5 евро.

Для более удобного решения простых задач на проценты, можно использовать пропорцию. Данный метод очень доступен. Вы можете выбирать тот вариант, который вам нравится больше. Итак, решим задачу, составив пропорцию.

• Задача. На клумбе растет 45 роз. Красных – 18. Какое процентное соотношение красных роз ко всем остальным?
• Решение. Чтобы было удобнее, давайте искомое число обозначим х. Общее количество цветов в таком случае будет составлять 100%. Пропорция составляется крест накрест. Она будет выглядеть следующим образом:

45 – 100%

18 — х

Чтобы решить уравнение стоит умножить левую и правую части накрест. В результате мы получим: 45*х=18*100. Отсюда будет следовать, что х=18*100/45=40% Ответ: процентное соотношение красных роз к остальным составляет 40%.

Способы решения задач на проценты

Для получения правильного результата, стоит полностью разобраться в способа решения условий с процентами. Тщательная работа над ними даст уверенность в собственных силах. Чем больше практики будет, тем лучше будет усвоен материал. При необходимости вы автоматически составите пропорция в уме.

Задача 1.

Стоимость куртки составляет 16000р. Впервые она увеличилась на 20%, затем на следующий день — снизилась на 20%. Она по прежнему стоит 16000 р., не так ли?

Решение. Нет. Если коротко, то: 16000*1,2*0,8 = 15360р — теперь вещь стоит эту сумму.

Развернутое решение. Сперва ценник увеличился на 20%, т. е. на 16000*0,2 = 3200р. Новая стоимость 16000+ 3200 = 19200 (р). Через день произошло снижение на 20%. Тут стоит понимать, что эта сумма отнималась не от 16000, а от 19200: 0,2*19200 = 3840 р. 19200 — 3840 = 15360 (р). Именно поэтому конечный результат составил 15360 р.

Задача 2.

Оба платья были по 14000 р. Цена одного из них возросла на 10%, а затем — еще на 10%. Цена второго сразу поднялась на 20%. Какое платье теперь более дорогое?

Решение. Чтобы понять, нужно сперва разобраться в проблеме. Первая вещь дорожала дважды по 10%, а соответственно сумма увеличилась в 1,1 раза: 14000*1,1*1,1 = 16940 (р). Вторая вещь изначально повысилась в цене на 20%, а точнее в 1,2 раза. Произведем расчеты: 14000*1,2 = 16800. Если сравнить обе цены, то первое платье стало намного дороже.

А почему нельзя сразу приплюсовать проценты? и после совершать расчеты. Все заключается в том, что 10% сперва отсчитывается от 14000 р, а далее — исчисление производиться уже от повышенной стоимости. По расчетам это выглядит так: 14000 + 1400 = 15400 (р). Далее переписывание ценника будет таким: 15400*0,1 = 1540 (р). Складываем 1540 и 15400 — получаем окончательную цену куртки — 16940 р.

Задача 3.

Цена на квартиру в новостройке в январе составляла 12000000 р. Через месяц она возросла на 5%, в еще через месяц — упала на 3%. Апрель показал возрастание на 7%, а в мае — снижение на 10%. Определите стоимость сейчас?

Решение. На основе вышеприведенных задач, уже точно можно сказать, что нельзя плюсовать все процентные значения в единое целое. Вариант: 5% — 3% + 7% — 10% = -1%. Будет неправильным. Все исчисления нужно проводить относительно новой суммы после очередного действия.

Толкование подробного решения:

Первое увеличение цены — это 5% от 12 000 000 = 600 000 (р).

12 000 000 + 600 000 = 12 600 000 (р).

Далее — это 3% от 12 600 000 = 378 000 (р).

12 600 000 — 378 000 = 12 222 000 (р).

Затем возрастание — это 7% от 12 222 000 = 855 540 (р).

12 222 000 + 855 540 = 13 077 540 (р).

Окончательный спад на 10% — это 10% от 1 307 7540 = 1 307 754 (р).

13 077 540 — 1 307 754 = 11 769 786.

Чтобы упростить задачу и не писать много лишнего, распишите данные в строку:

12 000 000*1,05*0,97*1,07*0,9 = 11 769 786 (р).

Чаще всего используется именно первый вариант. Хотя стоит постепенно переходить к более простому варианту, отказываясь от длительного рассуждения.

Задача 4.

Есть 5% раствор кислоты. Его масса 3,8 кг. Туда добавили 1,2 кг дистиллированной воды. Какой стала концентрация раствора (в процентах)?

Решение. Чтобы определить конечный результат, узнайте, сколько кислоты находиться в растворе. Из 3,8 кг 5% — это кислотная составляющая, а значит в растворе 0,05⋅3,8=0,19 кг 0,05⋅3,8=0,19 кг кислоты

После просчитайте вес нового раствора: 3,8 кг + 1,2 кг = 5 кг. Так как в воде нет кислоты, то значение осталось неизменным. А это значит, что концентрация кислоты стала равна 0,19/5=0,038 Для перевода в проценты выполните следующие действия — 0,038*100%=3,8%

Задача 5.

Мокрая губка содержала 80 % воды, а после выжимания только 20%. Чему была равна масса мокрой губки, если масса губки после выжимания стала 100 грамм? Ответ дайте в граммах.

Решение. Первый способ: В выжатой губке 100%−20%=80% сухого вещества, тогда после выжимания масса сухого вещества губки стала составлять 0,8*100=80 грамм. Но и до выжимания она была такой же, при этом до выжимания она составляла только 100−80=20% массы мокрой губки, значит масса мокрой губки была 80:0,2=400 грамм. Второй способ: Пусть x кг – масса мокрой губки, тогда г x/100*20 г – масса сухого вещества. После выжимания масса сухого вещества стала составлять 100−20=80% от массы выжатой губки (то есть 80 грамм), тогда x/100*20=80, откуда x=400 грамм. Ответ: 400 г.

Заключение

Из всего выше перечисленного можно сказать, что решать задачи на проценты не так уж и сложно. Разбор и запоминание основных правил позволит вам решать их максимально просто и быстро.

Для закрепления пройденного материала, было бы лучше самостоятельно составить задачу и решить ее. Можете проверить ваши способности на друзьях или близких. Поверьте, решать задачи на проценты вам придется неоднократно не только в школе, но и в повседневной жизни. Именно поэтому важно тщательно и детально изучить эту тему.